CyM2005, Ronda Nacional, Problema 4

CyM2005, Ronda Nacional, Problema 4

Rodrigo Belfiore 10 Nov 2007 20:20

Creo sin problemas, las primeras dos despejando y las otras mediante for.

dim x as double

for x = 1 to 3 step 0.000001
if 1-x^2/2 < 0 then
    print x  
    exit for
    end if
next 
for x = 1 to 3 step 0.000001
if 1-x^2/2+x^4/24 < 0 then
    print x  
    exit for
    end if
next 
for x = 1 to 3 step 0.000001
if 1-x^2/2+x^4/24-x^6/720 < 0 then
    print x  
    exit for
    end if
next 
for x = 1 to 3 step 0.000001
if 1-x^2/2+x^4/24-x^6/720+x^8/40320 < 0 then
    print x  
    exit for
    end if
next 
sleep

' RTA:
' raiz(2)
' raiz(6-2*raiz(3))
' 1.56990
' 1.57082

Re: CyM2005, Ronda Nacional, Problema 4

pabloh 10 Nov 2007 21:18

Acá va el link al enunciado.

Sí, es correcto. Por supuesto, hay otras formas de aproximar numéricamente raíces de ecuaciones o funciones. Concluir que encontramos una aproximación de la solución cuando hay un cambio de signo se puede hacer gracias a una propiedad de estas funciones: que son contínuas.

Por cierto, notar que $\pi/2 \approx$ 1.570796. ¿Por qué será, por qué será…? Pista: hacer un gráfico de las funciones; tratar de adivinar cómo sería la próxima ecuación. ;-)

Re: CyM2005, Ronda Nacional, Problema 4

Rodrigo Belfiore 10 Nov 2007 21:51

Cómo puedo mostrar que mi función es continua? Está a la vista, pero como lo muestro?

Última edición el 10 Nov 2007 21:53 por Rodrigo Belfiore Mostrar más

Continuidad

pabloh 10 Nov 2007 22:18

Demostrar que la función es contínua es a la vez simple y difícil. Es difícil porque involucra un montón de definiciones técnicas y teoremas cuyas demostraciones son algo complicadas.

Pero es simple: hay una serie de “reglas” (teoremas) relacionadas con la continuidad:

• la suma de funciones contínuas es una función contínua
• el producto de funciones contínuas es una función contínua
• la composición de funciones contínuas es una función contínua
• las constantes son funciones contínuas
• $f(x)=x$ es una función contínua
• mientras el divisor no se anule, el cociente de funciones contínuas es una función contínua

Por lo tanto $1, 1/2, 1/4!, \ldots$, $x, x \cdot x = x^2, x^4, x^6, \ldots$, etc. son funciones contínuas.