Problema 2
Buscar dos números enteros $X$ e $Y$ tales que al dividir a $X$ por $109$ el resto es $19$, al dividir a $Y$ por $208$ el resto es $28$ y además el resultado de multiplicar a $X\cdotY$ es un número menor que $1.000.000.000$ que es múltiplo de $411.732$ .
En Papel
Este problema es similar al anterior, ya que hay que probar dos variables $X, Y$ y luego preguntar si se cumple una determinada condición, en este caso, son cuatro:
- El resto de $X:109 = 19$
- El resto de $Y:208 = 28$
- $X \cdot Y < 1.000.000.000$
- $X \cdot Y$ es divisible por $411.723$
Ahora tengo que encontrar los rangos en los cuales variaran $X, Y$
Como se que $X$ es divisible por $109$ y el resto es $19$, $X= n*109+19$. Si $n=1$ obtengo que el mínimo valor de $X$ es $128$
Lo mismo sucede con $Y=n*208+28$, por lo tanto el menor valor de $Y$ es $236$
Ahora tengo que calcular los valores máximos. Como se que $X\cdotY = 1.000.000.000$ y que $X\geq236$, puedo dividir a $1.000.000.000$ por $236$ para obtener el máximo valor de $Y$
Lo mismo dedo hacer con $Y$ para obtener el mayor valor de $X$
(1)
\begin{align} 1.000.000.000 : 236 = 4.237.288,1355\ldots \end{align}
(2)
\begin{equation} 1.000.000.000 : 128 = 7.812.500 \end{equation}
(3)
\begin{align} 128 \leq X \leq 7.812.500 \end{align}
(4)
\begin{align} 236 \leq Y \leq 4.237.288 \end{align}
En computadora
Probar 4 millones de posibilidades $\cdot$ 8 millones de posibilidades aproximadamente, tardaría mucho para un programa, entonces hay que aumentar $X$ de a $109$, e $Y$ de a $208$. Así reduzco la cantidad de cálculos, y no me es necesario preguntar por el resto de $X$ o $Y$
Solo nos queda hacer el programa:
En Pascal
program ejer02;
uses crt;
var
x, y: longint;
begin
clrscr;
x:= 128; y:=236;
while x <= 7812500 do begin
while y <= 4237288 do begin
if x * y mod 411732 = 0 then
writeln(x:10,y:10);
inc(y, 208);
end;
inc(x, 109);
end;
readln
end.
En QBasic
DIM X AS LONG
DIM Y AS LONG
X = 128
Y = 236
WHILE X < 7812500
WHILE Y < 4237288
IF X*Y MOD 411732 = 0 THEN
PRINT(X)
PRINT(Y)
END IF
X = X + 109
WEND
Y = Y + 208
WEND
